Propriedades do triângulo equilátero
Triângulos equiláteros são aqueles que possuem os três lados congruentes. Isso gera propriedades úteis para problemas que envolvem esse tipo de triângulo.
Triângulos são polígonos que possuem três lados. Quando todos os lados de um triângulo são congruentes, isto é, possuem a mesma medida, esse triângulo é classificado como equilátero. Essa característica garante a existência de algumas propriedades que podem ser usadas para facilitar cálculos quando o problema envolve esse tipo de triângulo ou para problemas específicos da Geometria. Essas propriedades são as seguintes:
→ Todo triângulo equilátero é também isósceles
Os triângulos isósceles são aqueles que possuem dois lados congruentes. Todo triângulo que possui três lados congruentes (equilátero) necessariamente possui dois lados congruentes. Assim, os triângulos equiláteros herdam as propriedades dos triângulos isósceles. |
| Fonte imagem: http://www.estudarmatematica.pt/2014/02/triangulo-equilatero-isosceles-e.html |
→ Ângulos de um triângulo equilátero são congruentes
Como todos os lados de um triângulo equilátero são congruentes, os ângulos também são. Assim sendo, todos os ângulos de um triângulo equilátero medem 60°. A recíproca também é verdadeira: se todos os ângulos de um triângulo medem 60°, ele é equilátero, como mostra a figura a seguir:
 |
| Fonte imagem: http://tarefasdeescola7.blogspot.com.br/2015/05/triangulos-matematica.html |
→ Todos os ângulos externos de um triângulo equilátero medem 120°
Como o ângulo externo e o interno são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180°, qualquer ângulo externo mede 120°. Observe os ângulos externos de um triângulo equilátero na imagem a seguir: |
| Fonte imagem: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-equilatero.htm |
→ A bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também mediana do lado oposto a esse ângulo
Toda bissetriz divide o lado oposto em duas partes. Nos triângulos equiláteros,esse lado é dividido em partes iguais, pois a bissetriz divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.
→ A bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também a altura relativa ao lado oposto a esse ângulo
Como qualquer bissetriz de um triângulo equilátero divide-o em dois triângulos congruentes, a única possibilidade para os ângulos do ponto de encontro da bissetriz com a base é que sejam de 90°, pois eles são suplementares e congruentes.
A figura a seguir é um exemplo de uma das bissetrizes de um triângulo equilátero e das medidas obtidas pelo corte feito por ela.
 | |||||
Fonte imagem: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-equilatero.htm |
→ Seja o ponto P o encontro entre as medianas de um triângulo equilátero, então, P é também baricentro, ortocentro e incentro desse triângulo.
Isso acontece por causa das duas últimas propriedades. Como mediana, altura e bissetriz (relativas a um mesmo lado) são o mesmo segmento de reta, então, P é ponto de encontro de bissetrizes, medianas e alturas. Isso pode ser observado na figura a seguir:
 |
Fonte imagem: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-equilatero.htm |
Propriedades do triângulo isósceles
Triângulos são isósceles quando possuem dois lados iguais. Quando essa é a hipótese, algumas propriedades interessantes podem ser observadas.
Os triângulos são figuras geométricas planas constituídas por três lados, três ângulos e três vértices. Eles podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Apelidar um triângulo de isósceles sugere que esse triângulo foi classificado utilizando seus lados como parâmetro. Um triângulo que possui dois lados com medidas iguais recebe o nome de triângulo isósceles. O lado restante, que não foi observado ou que é diferente, é comumente chamado de base.
De posse dessas informações, observemos o triângulo abaixo, cujos lados AC e BC têm a mesma medida. AC = BC = 5,2 e a base é o lado AB. Acompanhe o passo a passo a seguir:
Os triângulos são figuras geométricas planas constituídas por três lados, três ângulos e três vértices. Eles podem ser classificados com relação aos seus ângulos ou com relação aos seus lados. Apelidar um triângulo de isósceles sugere que esse triângulo foi classificado utilizando seus lados como parâmetro. Um triângulo que possui dois lados com medidas iguais recebe o nome de triângulo isósceles. O lado restante, que não foi observado ou que é diferente, é comumente chamado de base.
De posse dessas informações, observemos o triângulo abaixo, cujos lados AC e BC têm a mesma medida. AC = BC = 5,2 e a base é o lado AB. Acompanhe o passo a passo a seguir:
 |
| Fonte imagem: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-isosceles.htm |
Desenhamos a mediana CD do triângulo ABC. Os segmentos AD e DB formados por essa mediana são congruentes e ela (a mediana) divide ABC em dois novos triângulos: ACD e BCD.
Observe que esses dois triângulos possuem certas semelhanças entre si:
1- Os lados CB do triângulo BCD e AC do triângulo ACD são iguais;
2- Os lados CD do triângulo ACD e CD do triângulo BCD são iguais
3- E os lados AD e DB dos respectivos triângulos também são iguais.
Isto configura o caso Lado Lado Lado (LLL) de congruência de triângulos e, por este motivo, os triângulos ACD e BCD são congruentes.
As consequências desse estudo são as duas propriedades seguintes:
1- Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes
Para verificar essa propriedade basta lembrar que os triângulos ACD e BCD são congruentes e os ângulos da base, “f” e “g”, são também congruentes por serem correspondentes.
2- A altura de um triângulo isósceles, relativa à base, é também mediana e bissetriz
Repare que:
1- O lado CD é comum aos dois triângulos;
2- O ângulo formado pela altura é de 90 graus tanto para ACD quanto para BCD e
3- Os ângulos “f” e “g” são iguais pela propriedade anterior.
Estas três informações configuram o caso Lado Ângulo Ângulo oposto (LAAo), por isso, os triângulos ACD e BCD são congruentes. Logo, CD é bissetriz além de altura, pois os ângulos “c” e “d” são iguais e CD é mediana pois os segmentos AD e BD são iguais.
Propriedades do triângulo retângulo
Devido ao seu formato e a algumas propriedades interessantes, o triângulo retângulo foi determinante para a origem da Trigonometria. Nela podemos determinar o índice de subida criando relações com termos oriundos da trigonometria como seno, cosseno e tangente. No triângulo, temos que a soma dos ângulos internos corresponde a 180º. Sabendo que um dos ângulos do triângulo retângulo mede 90º, determinamos que os outros tenham medidas menores que 90º, isto é, ângulos agudos e complementares. Agudos, por possuírem medidas menores que 90º e complementares, devido à soma ser igual a 90º.À esses ângulos agudos, foram relacionados valores do seno, cosseno e tangente de acordo com os estudos trigonométricos. Vamos determinar no triângulo retângulo, em relação a um dos ângulos agudos, a ideia do índice de subida. Veja:
 |
| Fonte imagem: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-retangulo.htm |
De acordo com o triângulo e os elementos fornecidos, podemos estabelecer três situações em relação ao ângulo agudo α. Veja:
 |
Fonte imagem: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-retangulo.htm |
A medida da altura é o correspondente ao lado oposto do ângulo α.
A medida representada pelo afastamento corresponde ao lado adjacente do ângulo α.
O percurso diz respeito à medida da hipotenusa do triângulo retângulo.
De acordo com essas relações estabelecemos as seguintes relações trigonométricas:
 |
| Fonte imagem: http://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-retangulo.htm |
Comentários
Postar um comentário